“于是我们又得到了一个等式，2k?=q?，同理可得，q为偶数。” “也就是说，从根号2是有理数这个前提，我们可以推出这样一个结果，p和q拥有一个共同的因数2，而这违背了最初的假设pq互质，由此可得这个前提条件是错误的。” “根据类似的思路我们还可以证明根号3，根号12是无理数。” “然后在这里，我要第一次引入无穷的概念，我现在画一条线段，这条线段的起点是0，终点是1，也就是它是一段长度为1的有限长的线段。” “那么请思考这样一个问题，如果我要从0走到1，那么我得先走到0和1的中点1/2，如果我要从0走到1/2，那么我就需要先走到0和1/2的中点1/4，而这个过程是可以无限继续下去的，你们看到问题所在了吗？” “第二个例子，依旧是这条线段，我把它竖起来，然后我再在它的旁边画一条倾斜一点的线段，有点像直角三角形的高和斜边长，对吧。” “这两条线段的长度明显是不想等的，但是我们可以将上面的点一一对应起来，横着连线，对，假设，线段是由一个一个可数的点构成的，那么我们就会得到一个荒谬的结论，也就是这两条线段是相等的。” “但是我们知道它们俩是不相等的，所以，我想你们应该已经得出了结论，哪怕是一条有限长的线段上，上面也布满了无穷个数，对吗？” “很好，这就是你们暂时需要知道的关于实数的事。” “我们接下来来讲集合。” …… 米西是半途从艾尔他们中溜出来来到黎曼先生的“课堂”后的。 黎曼先生把召唤光放到了石板的上方，这个光球足够亮，亮到她可以看见她妈妈纸上的笔记。 “妈妈，给我看看。” “哦！米西！你什么时候过来的？” “刚刚。” 米西的妈妈抽出她垫在下面的几张纸递给米西，自己则接着听课记笔记。 米西快速地扫了眼那几张纸，然后抬起头看向白光下正在侃侃而谈的黎曼先生。 “……集合另一个需要注意的特性是，元素的重复是无意义的。” “我们举个例子来理解，大家应该还记得集合定义是具有某种特定性质的对象的汇总，那么我现在在这里喊一句——谁要跟我一起去打猎？报名的人是否就是一个集合？” “这种情况下，假设我不小心将弗莱迪先生的名字记下了两次，比如我现在纸上共有18个名字，其中有两个弗莱迪，这并不意味着会出现两个弗莱迪来跟我打猎，不是吗？真正和我一起去打猎的依旧只有17个人，只有一个弗莱迪，这就是重复的无意义。” 米西觉得黎曼先生是个神奇的人，他总喜欢举各种各样的例子，她其实觉得这样有点浪费时间啦，但其他人好像觉得这样更好理解，唉，那她就只能迁就下其他那些不够聪明的人了。 “……集合另一个需要注意的地方是，呃，稍等一下。” 米西看着黎曼先生从不知道哪里摸出了一张纸，他好看的眉微微皱了起来，然后转头对大家说：“抱歉，今天都课就先到这里，虽然没什么需要深入理解的内容，但希望大家能花些时间记住这些基本概念，因为以后我们会经常用到，哪里有忘记的可以互相交换一下笔记，进行一个查漏补缺，我有些事情要去做，明天见。” 米西忍不住发出了一声懊恼的“噢——”，她才刚来呢！怎么还没开始就要结束了！ 不过她没懊恼多久，因为她妈妈扯了扯她的衣角：“米西，帮我看看证明根号2这一段……” m.BｊｚJnf.cOｍ